По какому закону происходит колебание. Гармонические колебания. Если колебание описывать по закону косинуса

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Читать еще:  С днем рождения крестница 17. Крестнице в стихах

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

Гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с тече­нием времени по закону синуса или косинуса

Гармоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с тече­нием времени по закону синуса или косинуса.

u = Usin(ωt + φ), (1)

u = Ucos(ωt + φ).

где u – смещение колеблющейся частицы от положения своего равновесия в момент времени t;

U – максимальная амплитуда смещения гармонического колебания. Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

t + φ) – фаза гармонического колебания; представляет собой аргумент синуса или косинуса.Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

φ – начальная фаза; характеризует положение точки в начальный момент времени;

ω – циклическая (круговая) частота; равна величине угла поворота, иначе ее называют угловой скоростью. Связь циклической частоты ω с линейной f и периодом Т: если угол поворота φ материальной точки равен 2π, т.е. периоду Т колебаний (исходя из равенства φ = ωt для любого момента времени t) получаем 2π = ωt

ω = , [рад/с] (2)

где f = 1/Т – линейная частота колебаний (число полных колебаний, происходящих за одну секунду), [1/с], [с -1 ], [Гц].

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t = 0 смещение u = 0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ = 0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t = 0 смещение u = U, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ = 0.

Рисунок 6 – Движение точки по окружности с постоянной скоростью

Чтобы установить основные кинематические признаки гармонических коле­баний, рассмотрим их математическую модель на примере изменения физичес­ких величин, характеризующих движение маленького шарика (материальной точки Мt) по окружности с постоянной угловой скоростью ω (рисунок 6). Начало координат поместим в центре окружности радиуса R. Проследим движение точки Мt‘, являющейся проекцией точки Мt на ось Y. Пусть в начальный момент времени материальная точка находилась в положении М и ее радиус-вектор составлял с осью Ох угол φ.

Читать еще:  Болит пупок во втором триместре. Отравление нельзя списывать со счетов. Может ли пирсинг вызывать боль в пупке

Через промежуток времени t точка переместилась в положение Мt, а ее радиус-вектор повернулся на угол Δφ = ωt и составляет в данный момент с осью Ох угол

Тогда смещение uу1 точки Мt вдоль оси Y есть

где uу1 = ОМt – амплитуда колебаний точки Мt‘относительно оси X, равная наибольшему откло­нению точки Мt в данное время от этой оси.

Значение угла φ для любого момента времени t есть

Отсчет угла φ ведется от оси Х против часовой стрелки. Если бы круговое движение началось из положения φ = φ = 0, то формула для смещения записывалась бы в виде:

Также будет выглядеть формула (5), если φ = 2π, что соответствует полному обороту точки Мt в случае, если движение точки по окружности начнется из положения φ = φ = 0.

Если рассматривать изменение проекции их точки Мt на горизонтальную ось X (рисунок 6), то оно описывается выражением

Таким образом, точка Мt совершает гармонические колебания как относительно оси Y, так и относительно оси X.

Выводы:

149.154.154.61 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Колебания и волны

Колебательное движение

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Читать еще:  Что можно дарить на новый год. Что нельзя дарить в год Собаки. Необычные решения презента

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Примеры резонанса

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Источники:

http://fizmat.by/kursy/kolebanija_volny/garmonicheskoe
http://studopedia.ru/5_53320_garmonicheskie-kolebaniya.html
http://msk.edu.ua/ivk/Fizika/Konspekt/Kolebaniya_Volny.php

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector