Теорема о сохранении кинетической энергии. Теорема о кинетической энергии. Два шара одинаковой массы катятся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями по очень гладкой поверхности. Шары сталкиваются, на мгновение останавливаются, после чего

Непрямой упругий удар

Разделы: Физика

Задачи на непрямой упругий удар практически не рассматриваются в курсе школьной физики. В то же время такие задачи встречаются в заданиях олимпиад различного уровня, в том числе вузовских олимпиад, включаемых в перечень Министерства образования, призеры которых имеют право засчитывать свой результат как высший балл по ЕГЭ. В связи с этим представляется целесообразным рассматривать задачи на непрямой упругий удар на школьном факультативе по физике, что в течение ряда лет и делается в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Кроме того, на факультативе имеется возможность систематизировано изложить подходы к решению данных задач, разбросанных по различным задачникам и учебным пособиям. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов.

Задача 1. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после нецентрального упругого удара. [1,2]

Решение. Используя теорему косинусов для треугольника импульсов, представленного на рисунке, запишем закон сохранения импульса в виде:

где p – модуль импульс налетающего шара до удара, p1 – модуль импульса налетающего шара после удара, p2 – модуль импульса покоящегося шара после удара, α – угол разлета шаров. Закон сохранения энергии запишем также через импульсы шаров:

Если m1 = m2, то из уравнений (1) и (2) следует, что cosα = 0 и α = π/2.

Задача 2. Тяжелая частица массы m1 сталкивается с покоящейся легкой частицей массы m2. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая частица в результате упругого удара? [1]

Решение. Запишем закон сохранения импульса в виде (рисунок к задаче 1):

где p – модуль импульса налетающей частицы до удара, p1 – модуль импульса налетающей частицы после удара, p2 – модуль импульса покоящейся частицы после удара, φ – искомый угол отклонения налетающей частицы. Закон сохранения энергии запишем также через импульсы частиц:

Из второго уравнения выразим

И подставим в (1а). Тогда

Детерминант уравнения (4) должен быть больше или равен нуля:

Отсюда получаем ограничение на угол отклонения налетающей частицы:

Максимальный угол отклонения имеет место, когда детерминант равен нулю. Для этого угла

Ответ:

Важным обстоятельством при упругом нецентральном ударе является то, что ввиду отсутствия сил трения, силы взаимодействия соударяющихся тел направлены по нормали к поверхности их соприкосновения.


Задача 3. На горизонтальном столе покоится клин массой М = 4 кг. Сверху на клин падает шарик массой m = 1 кг. Определить угол при основании клина α, если известно, что после упругого удара о клин шарик отскочил под углом β = 45° к вертикали. Трением пренебречь.[3]

Решение. Поскольку смещения шарика и клина за время соударения пренебрежимо малы (удар, как обычно, считается мгновенным), а также из-за отсутствия трения, силы взаимодействия шарика и клина направлены по нормали к наклонной плоскости. Следовательно, изменение импульса шарика при ударе также будет направлено по нормали к наклонной плоскости клина (смотри рисунок, где через V и V обозначены скорости шарика до и после удара соответственно, U — скорость клина после удара). Из рисунка видно, что

Используя закон сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление и закон сохранения кинетической энергии при упругом ударе, получаем следующие равенства:

Объединяя записанные выражения, получаем ответ.

Задача 4. Два одинаковых шара радиусами R летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями как показано на рисунке. Расстояние между линиями движения центров шаров S = R. На какой угол β повернется вектор скорости каждого из шаров после удара? Удар считать упругим, шары – идеально гладкими. [3]

Решение. Обозначим через скорости шаров после удара. Используя законы сохранения импульса и энергии

находим, что V1 = V2 = V, т.е. модули скоростей шаров после удара останутся прежними. Из предположения о кратковременности удара вытекает, что приращение импульса каждого из шаров направлено по линии, соединяющей центры шаров в момент удара. Из рисунка видно, что

Читать еще:  Вывод камней из почек. Наиболее распространенные препараты, которые помогут выгонять камни в почках. Уратные камни в почках

Задачи для самостоятельного решения.

1. [1] Частица массы m1 налетает на шар массы m2. Направление ее движения составляет угол α с нормалью к поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?

2. [1] При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся первая полетела под углом α к направлению первоначального движения, а вторая – под углом β. Найдите отношение масс этих частиц.

m1 – масса налетающей частицы.

3. [1] Частица массы m1 налетела со скоростью v на неподвижную частицу массы m2, которая после упругого удара полетела под углом α к первоначальному направлению движения налетающей частицы. Определите скорость частицы массы m2 после удара.

4. [2] По центру неподвижного кубика, лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, наносят удар шариком той же массы, так, что начальная скорость шарика v направлена под углом α к оси симметрии кубика. Определить скорость v1 и v2 шарика и кубика после удара. Под каким углом β к оси симметрии кубика полетит шарик после удара?

5. [2] Шариком массой m наносят удар по клину. Масса клина M, угол при основании α. Удар абсолютно упругий. Трением можно пренебречь. Определить скорость шарика v и скорость клина u после удара, если скорость шарика перед ударом равна v и направлена: а) перпендикулярно поверхности клина; б) по вертикали; в) по горизонтали.

Литература:

  1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. − 2-е изд., перераб. − М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. – 416 с.
  2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.
  3. Драбович К.Н., Макаров В.А., Чесноков С.С. Физика. Практический курс для поступающих в университеты. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 544 с. – ISBN 5-9221-0652-Х.

Задачи по физике (стр. 8 )

Скорость в момент падения:

Ответ: Камешек упадет в 34,5 м от места взлета шара, максимальная скорость камешка будет 49 м/с, минимальная 0.

47.Материальная точка массой m двигалась со скоростью . В некоторый момент времени на нее начала действовать сила сопротивления, из­меняющаяся по закону . В какой момент времени, считая от

начала действия силы, материальная точка остановится?

Дано: ; .

Решение: Пусть точка будет единичной массы (это не влияет на решение). Тогда ускорение торможения будет численно равно силе, и также будет вычисляться как производная от скорости:

Далее вычислим определенный интеграл:

Ответ: Точка остановиться за время .

48. Навстречу друг другу летят два шара с массами m1 и m2. Между шара­ми происходит неупругий удар. Известно, что до удара кинетическая энергия одного шара в n раз больше кинетической энергии другого. При каких услови­ях (значениях отношения масс) шары после удара будут двигаться в сторону движения шара, обладавшего меньшей энергией.

Дано: m1 и m2; E1=nE2.

Решение: Выразим импульсы первого и второго шара до удара через энергии:

Положительное направление направлено в сторону импульса 1 шара до удара. Уравнение сохранения импульса при условии движения обоих шаров в сторону шара с меньшей энергией (шар 2):

Так как в правой части отрицательное выражение то значение выражения тоже будет отрицательно:

Ответ: Шары будут двигаться в сторону движения шара с меньшей энергией при m2>nm1.

49. Используя принцип суперпозиции полей, определить напряженность гравитационного поля тонкой бесконечной однородной плоскости, масса едини­цы поверхности которой у. (Указание: записать выражение для напряженности поля, создаваемого тонким кольцом радиуса r и толщиной dr на его оси, и про­интегрировать в пределах от нуля до бесконечности.)

Решение: Напряженность гравитационного поля кольца радиуса r и толщиной dr на высоте h от плоскости:

масса кольца dM вычисляется:


Перейдем к интегралу:

50. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторо­ну секундного маятника отличаются друг от друга на 1%. Каков коэффициент затухания этого маятника? Как он изменится, если шарик маятника заменить на другой того же радиуса, но массой в 4 раза большей?

Читать еще:  Как запоминать большие объемы информации? Как научиться запоминать большой объем информации

Дано: A1=0,99A0; T=1 c.

Решение: Амплитуда меняется в виде показательной функции: .

Так как за один период амплитуды меняются как A1=0,99A0 то .

Уравнение второго закона Ньютона для маятника:

Коэффициент сопротивления r не зависит от размеров тела, а только от среды и материалов маятника, и в условиях задачи будет постоянен. Отсюда коэффициент затухания при увеличении массы шарика будет:

Ответ: Коэффициент затухания равен 0,01 с–1 ; при увеличении массы шарика в 4 раза коэффициент затухания уменьшиться в 4 раза.

51.Стержень, покоящийся в системе К, составляет угол б= 30° с осью х, а в системе К’ — угол б’ = 60° с осью x’. Найдите относительную скорость движения систем. Направления осей х, x’ и относительной скорости систем сов­падают.

Решение: Пусть в системе К длина стержня l, в системе К’ стержень длины l’ движется со скоростью v. Из за релятивистского сокращения продольных размеров угол в системе К’ станет больше (будут уменьшаться проекция длины стержня):

Так как вертикальные размеры стержня не меняются:

52. Колесо с пробуксовкой катится по горизонтальной дороге. При этом ско­рость верхней точки колеса vв = 3 м/с, а скорость нижней точки vн =2 м/с. Радиус колеса R=0,5м. Найдите радиусы кривизны траектории верхней и нижней точек колеса. (Указание: скорость любой точки колеса — геометриче­ская сумма скорости поступательного движения центра масс и линейной скоро­сти вращения вокруг оси, проходящей через него; ускорение при равномерном качении определяется только линейной скоростью вращения.)

53. На наклонную плоскость, составляющую угол б= 30° с горизонтом, кладут кирпич массой m= 2 кг и отпускают без толчка. Определите силу тре­ния, действующую на кирпич после этого. Коэффициент трения между кирпи­чом и плоскостью k = 0,8.

Дано: б= 30°; m= 2 кг; k = 0,8.

Решение: Сила трения зависит от реакции опоры N при движении: .

Реакция опоры противодействует проекции силы тяжести на нормаль к наклонной плоскости:

. Найдем ускорение тела вдоль наклонной плоскости:

Так как ускорение по условию положительно то, значит тело не движется так как максимальная сила трения покоя больше проекции силы тяжести. Отсюда получаем, что сила трения компенсируется проекцией силы тяжести:

54. На носу лодки длины l стоит человек, держа на высоте h ядро массы m. Масса лодки вместе с человеком M. Человек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы попасть в корму лодки? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Решение: При броске ядра выполняется закон сохранения импульса и лодке и ядру сообщается скорости:

Будем рассматривать движение ядра относительно лодки. Скорость ядра относительно лодки: Чтобы попасть в корму, ядро должно пролететь расстояние l относительно лодки за время падения t: .

Ответ: Скорость ядра должна быть равна .

55. Тонкая прямоугольная пластина массы M= 8 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси AA’, совпадающей с одной из ее ко­ротких сторон. Длинная сторона b= 0,6 м. Вначале пластина покоилась. В точку В, находящуюся ниже оси вращения на расстоянии х = 0,5 м, ударяет пуля массы m=10 г, летящая горизонтально перпендикулярно пластине со скоростью v= 200 м/с. Какую угловую скорость приобретет пластина, если удар абсолютно упругий?

Дано: M= 8 кг; b= 0,6 м; х = 0,5 м; m=0,01 кг; v= 200 м/с.

Решение: В момент удара будет выполняться закон сохранения момента импульса:

Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии

Задачи на «3»

1. а­да­ние 4 № 4763. Са­мо­свал мас­сой при дви­же­нии на пути к ка­рье­ру имеет ки­не­ти­че­скую энер­гию 2,5 10 Дж. Ка­ко­ва его ки­не­ти­че­ская энер­гия после за­груз­ки, если он дви­гал­ся с преж­ней ско­ро­стью, а масса его уве­ли­чи­лась в 2 раза?

2. За­да­ние 4 № 4116. Тело дви­жет­ся вдоль оси ОХ под дей­стви­ем силы F = 2 Н, на­прав­лен­ной вдоль этой оси. На ри­сун­ке при­ведён гра­фик за­ви­си­мо­сти про­ек­ции ско­ро­сти vx тела на эту ось от вре­ме­ни t. Какую мощ­ность раз­ви­ва­ет эта сила в мо­мент вре­ме­ни t = 3 с?

3. За­да­ние 4 № 403. Си­сте­ма со­сто­ит из двух тел a и b. На ри­сун­ке стрел­ка­ми в за­дан­ном мас­шта­бе ука­за­ны им­пуль­сы этих тел.

Чему по мо­ду­лю равен им­пульс всей си­сте­мы?

Задачи на «4»

1. а­да­ние 4 № 6917. Тела 1 и 2 вза­и­мо­дей­ству­ют толь­ко друг с дру­гом. Из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии тела 2 за не­ко­то­рый про­ме­жу­ток вре­ме­ни равно 10 Дж. Ра­бо­та, ко­то­рую со­вер­ши­ли за этот же про­ме­жу­ток вре­ме­ни силы вза­и­мо­дей­ствия тел 1 и 2, равна 30 Дж. Чему равно из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии тела 1 за это время?

Читать еще:  Как забыть человека которого любишь если. Как забыть человека

2. За­да­ние 4 № 6756. По глад­кой го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти по осям x и y дви­жут­ся две шайбы с им­пуль­са­ми, рав­ны­ми по мо­ду­лю p1 = 1,5 кг·м/с и p2 = 3,5 кг·м/с, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. После со­уда­ре­ния вто­рая шайба про­дол­жа­ет дви­гать­ся по оси y в преж­нем на­прав­ле­нии с им­пуль­сом, рав­ным по мо­ду­лю p3 = 1,5 кг·м/с. Опре­де­ли­те мо­дуль им­пуль­са пер­вой шайбы после удара. Ответ при­ве­ди­те в кг·м/с.

3. За­да­ние 4 № 4412. Два брус­ка мас­сой и рав­но­мер­но дви­жут­ся вдоль пря­мой (см. ри­су­нок). В си­сте­ме отсчёта, свя­зан­ной с брус­ком , мо­дуль им­пуль­са вто­ро­го брус­ка равен

Задачи на «5»

1. За­да­ние 29 № 2944. При вы­пол­не­нии трюка «Ле­та­ю­щий ве­ло­си­пе­дист» гон­щик дви­жет­ся по трам­пли­ну под дей­стви­ем силы тя­же­сти, на­чи­ная дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя с вы­со­ты Н (см. ри­су­нок).

На краю трам­пли­на ско­рость гон­щи­ка на­прав­ле­на под углом к го­ри­зон­ту. Про­ле­тев по воз­ду­ху, гон­щик при­зем­ля­ет­ся на го­ри­зон­таль­ный стол, на­хо­дя­щий­ся на той же вы­со­те, что и край трам­пли­на. Ка­ко­ва даль­ность по­ле­таL на этом трам­пли­не? Cопро­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха и тре­ни­ем пре­не­бречь.

2. За­да­ние 29 № 6474. Шар, мас­сой m1 дви­жу­щий­ся со ско­ро­стью v1 уда­ря­ет­ся о дру­гой шар, мас­сой m2. Со­уда­ре­ние не­упру­гое. Сразу после удара ско­рость шаров равна v. Най­ди­те ве­ли­чи­ну энер­гии ΔU, вы­де­лив­шу­ю­ся при со­уда­ре­нии..

Билет № 5

Энергия. Закон сохранения энергии

Задачи на «3»

1. За­да­ние 4 № 410. Ка­мень мас­сой 1 кг бро­шен вер­ти­каль­но вверх с на­чаль­ной ско­ро­стью 4 м/с. На сколь­ко уве­ли­чит­ся по­тен­ци­аль­ная энер­гия камня от на­ча­ла дви­же­ния к тому вре­ме­ни, когда ско­рость камня умень­шит­ся до 2 м/с?

2. За­да­ние 4 № 502. Ящик тянут по земле за ве­рев­ку по го­ри­зон­таль­ной окруж­но­сти дли­ной с по­сто­ян­ной по мо­ду­лю ско­ро­стью. Ра­бо­та силы тяги за один обо­рот по окруж­но­сти . Чему равен мо­дуль силы тре­ния, дей­ству­ю­щей на ящик со сто­ро­ны земли?

3. За­да­ние 4 № 417. Поезд дви­жет­ся со ско­ро­стью , а теп­ло­ход со ско­ро­стью . Масса по­ез­да . От­но­ше­ние мо­ду­ля им­пуль­са по­ез­да к мо­ду­лю им­пуль­са теп­ло­хо­да равно 5. Масса теп­ло­хо­да равна

Задачи на «4»

1. За­да­ние 4 № 6335. Не­боль­шое тело мас­сой 200 г сво­бод­но со­скаль­зы­ва­ет вниз по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти вдоль оси OX. В таб­ли­це при­ве­де­на за­ви­си­мость про­ек­ции vx ско­ро­сти этого тела от вре­ме­ни t. Какую ра­бо­ту со­вер­шит сила тя­же­сти к мо­мен­ту, к ко­то­ро­му тело пройдёт путь 1 м?

2. За­да­ние 4 № 7103. Гру­зо­вик и лег­ко­вой ав­то­мо­биль дви­жут­ся со ско­ро­стя­ми v1 = 72 км/ч и v2 = 108 км/ч со­от­вет­ствен­но. Масса гру­зо­ви­ка m = 4000 кг. Ка­ко­ва масса лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля, если им­пульс гру­зо­ви­ка боль­ше им­пуль­са лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля на 20 000 кг · м/с?

3. а­да­ние 25 № 739. Доска мас­сой 0,8 кг шар­нир­но под­ве­ше­на к по­тол­ку на лег­ком стерж­не. На доску со ско­ро­стью на­ле­та­ет пла­сти­ли­но­вый шарик мас­сой 0,2 кг и при­ли­па­ет к ней. Ско­рость ша­ри­ка перед уда­ром на­прав­ле­на под углом к нор­ма­ли к доске (см. ри­су­нок). Чему равна вы­со­та подъ­ема доски от­но­си­тель­но по­ло­же­ния рав­но­ве­сия после со­уда­ре­ния? Ответ ука­жи­те в мет­рах с точ­но­стью до двух зна­ков после за­пя­той.

Задачи на «5»

1. За­да­ние 29 № 2945. Кусок пла­сти­ли­на стал­ки­ва­ет­ся со сколь­зя­щим нав­стре­чу по го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти стола брус­ком и при­ли­па­ет к нему. Ско­ро­сти пла­сти­ли­на и брус­ка перед уда­ром на­прав­ле­ны вза­им­но про­ти­во­по­лож­но и равны и . Масса брус­ка в 4 раза боль­ше массы пла­сти­ли­на. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния сколь­же­ния между брус­ком и сто­лом . На какое рас­сто­я­ние пе­ре­ме­стят­ся слип­ши­е­ся бру­сок с пла­сти­ли­ном к мо­мен­ту, когда их ско­рость умень­шит­ся в 2 раза?

2. За­да­ние 28 № 2927. После толч­ка льдин­ка за­ка­ти­лась в яму с глад­ки­ми стен­ка­ми, в ко­то­рой она может дви­гать­ся прак­ти­че­ски без тре­ния. На ри­сун­ке при­ве­ден гра­фик за­ви­си­мо­сти энер­гии вза­и­мо­дей­ствия льдин­ки с Зем­лей от ее ко­ор­ди­на­ты в яме. В не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни льдин­ка на­хо­ди­лась в точке А с ко­ор­ди­на­той и дви­га­лась влево, имея ки­не­ти­че­скую энер­гию, рав­ную 2 Дж. Смо­жет ли льдин­ка вы­скольз­нуть из ямы? Ответ по­яс­ни­те, ука­зав, какие фи­зи­че­ские за­ко­но­мер­но­сти вы ис­поль­зо­ва­ли для объ­яс­не­ния

Источники:

http://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/625605/
http://pandia.ru/text/80/496/14568-8.php
http://megaobuchalka.ru/4/31218.html

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector