Закон сохранения энергии в незамкнутой системе формула. Закон сохранения энергии — основа основ

Журнал «Квант»

§6. Законы сохранения в механике

6.9 Закон сохранения энергии.

Пусть некоторое материальное тело взаимодействует с другими неподвижными телами, причем все силы взаимодействия являются потенциальными. Обозначим кинетическую энергию тела в некоторый начальный момент времени K, а потенциальную энергию его взаимодействия с другими телами в тот же момент времени U, через K, U — обозначим кинетическую и потенциальную энергии в произвольный момент времени. В этом случае изменение кинетической энергии тела ΔK = KK = A, согласно доказанной нами теореме, равно работе внешних сил. С другой стороны, по определению потенциальной энергии, работа потенциальных сил равна изменению потенциальной энергии, взятой с противоположным знаком A = -ΔU = -(UU). Приравнивая эти выражения, получим уравнение

которое перепишем в виде

K + U = K_0 + U_0) . (1)

Сумма кинетической и потенциальной энергия тела называется механической энергией.Полученное уравнение (15) указывает, что при сформулированных условиях сумма кинетической и потенциальной энергий тела (его механическая энергия) остается постоянной в процессе движения.

Рассмотрим теперь движение двух взаимодействующих тел. Будем считать для упрощения, что два небольших тела движутся навстречу друг другу вдоль одной прямой, соединяющей эти тела (рис. 94). Применим теорему о кинетической энергии для каждого тела для их малых смещений Δr1, Δr2 за малый промежуток времени

begin Delta K_1 = F_ <12>Delta r_1 \ Delta K_2 = F_ <21>Delta r_2 end) . (2)

Просуммируем эти уравнения с учетом равенства модулей сил, действующих на каждое тело (F12 = F21 = F).

Delta (K_1 + K_2) = F (Delta r_1 + Delta r_2)) .

Теперь обратим внимание, что сумма смещений тел есть изменение расстояния между телами. Так как, сила взаимодействия зависит только от расстояния между телами, то выражение (

F (Delta r_1 + Delta r_2) = -(U — U_0)) совпадает с выражением для работы силы взаимодействия при условии, что одно из тел покоится, следовательно, оно равно изменению потенциальной энергии взаимодействия, взятой с противоположным знаком

Delta K = -Delta U) , или (

K + U = operatorname) .

Таким образом, мы получаем, что увеличение суммарной кинетической энергии равно уменьшению потенциальной энергии взаимодействия, поэтому суммарная механическая энергия системы из двух тел сохраняется. Этот вывод достаточно легко можно обобщить на произвольную замкнутую систему тел, все силы взаимодействия между которыми потенциальны. Отметим, что системы, в которых отсутствуют диссипативные силы, называются консервативными.

Итак, механическая энергия замкнутой консервативной системы сохраняется. Это чрезвычайно важное утверждение составляет содержание закона сохранения механической энергии. Подчеркнем, для сохранения механической энергии необходимо выполнение двух условий: первое, система должна быть замкнута, то есть не взаимодействовать с другими телами; второе, система должна быть консервативна, то есть все силы взаимодействия должны быть потенциальными.

Рассмотрим теперь систему, в которой присутствуют неконсервативные (диссипативные) силы. Опять для упрощения алгебраических выкладок, будем считать, что система состоит из двух описанных ранее тел, на каждое из которых помимо сил взаимодействия, действуют диссипативные силы (

vec F_, vec F_), которые не обязаны быть одинаковыми, являясь абсолютно независимыми (рис. 95). В этом случае в каждом уравнении системы (2) появится дополнительное слагаемое, описывающее работу диссипативных сил

begin Delta K_1 = F_ <12>Delta r_1 + vec F_ cdot Delta vec r_1 \ Delta K_2 = F_ <21>Delta r_2 + vec F_ cdot Delta vec r_2 end) . (3)

Проводя над этой системой аналогичные преобразования, получим уравнение

Delta (K + U) = A_d) , (4)

A_d = vec F_ cdot Delta vec r_1 + vec F_ cdot Delta vec r_2) — суммарная работа диссипативных сил в системе (заметим, что, как правило, эта работа отрицательна). Эти рассуждения легко обобщаются на систему произвольного числа тел.

Читать еще:  Клиническая боязнь кошек от которой страдал наполеон. Айлурофобия

Таким образом, в замкнутой неконсервативной системе изменение механической энергии равно работе диссипативных сил.

Наконец, можно рассмотреть не замкнутую систему, то есть ситуацию, когда на тела системы действуют внешние силы любой природы. В этом случае в уравнения типа (2) следует включить работу внешних сил, после аналогичных преобразований можно прийти к выводу: в незамкнутой неконсервативной системе изменение полной механической энергии равно сумме работы внешних сил и работы диссипативных сил.

Второй способ описания таких систем заключается в их расширении: достаточно в нее включить все взаимодействующие тела и рассматривать расширенную систему как замкнутую.

Мы уже отмечали, что всякая работа есть мера перехода энергии из одной формы в другую. Так в рассмотренных случаях работа потенциальных сил приводит к изменению кинетической энергии, эта работа показывает, сколько энергии перешло из кинетической в потенциальную (или обратно). Наличие сил трения приводит к выделению теплоты, работа этих сил показывает, сколько механической энергии перешло во внутреннюю, тепловую. Если в энергию системы включить и ее внутреннюю энергию, то можно сделанный вывод можно переформулировать в виде закона сохранения энергии: в замкнутой системе полная энергия сохраняется.

Этот закон является предельно общим – он справедлив для любых физических явлений. В ходе дальнейшего изучения физики мы постоянно будем обобщать этот закон, включая в него иные формы энергии – электрическую, магнитную, атомную, ядерную и т.д. Смело можно утверждать, что закон сохранения энергии является основой современной физики. В любых явлениях мы будем искать и находить формулы для различных форм энергии. Что общего в этих различных формах энергии – энергия может переходить, превращаться из одной формы в другую, поэтому справедливо уважительно расширить название закона – ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ.

Невозможно назвать одного автора этого закона, многие физики внесли свой вклад в его формулировку, обоснование и развитие — от неизвестных авторов, сформулировавших «золотое правило механики» до современных исследователей. С некоторыми из них мы познакомимся в дальнейшем.

Что касается его проявления в механических явлениях, то полученные нами уравнения следуют из уравнений законов Ньютона и свойств конкретных взаимодействий. Но закон сохранения энергии имеет более широкие и общие рамки, да и его обоснование имеет более прочный фундамент. Так как этот закон тесно связан с однородностью времени – если вы уверены, что результаты физического эксперимента проведенного сегодня, приведут завтра (при сохранении всех условий) к тем же результатам, вы должны быть уверены в законе сохранения энергии.

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М. В. Ломоносову (1711 —1765), изложив­шему закон сохранения материи и движе­ния, а количественная формулировка за­кона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814—1878) и не­мецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Рассмотрим систему материальных то­чек массами m1, m2, . mn, движущихся со скоростями v1, v2, . vn. Пусть F1, F2, . Fn — равнодействующие внутренних кон­сервативных сил, действующих на каждую из этих точек, a f1, F2, . Fn— равнодей­ствующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние некон­сервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из ма­териальных точек, обозначим f1, f2, . fn. При v

Сложив эти уравнения, получим

Первый член левой части равенства (13.1)

где dT есть приращение кинетической энергии системы. Второй член

равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии dП системы (см. (12.2)).

Правая часть равенства (13.1) задает работу внешних неконсервативных сил,

действующих на систему. Таким образом, имеем

При переходе системы из состояния 1 в ка­кое-либо состояние 2

т. е. изменение полной механической энер­гии системы при переходе из одного со­стояния в другое равно работе, совершен­ной при этом внешними неконсервативны­ми силами. Если внешние неконсерватив­ные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

Читать еще:  Причины высоких показаний градусника. Нервно-психические показатели и умения

т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохране­ния механической энергии:в системе тел, между которыми действуют только кон­сервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Механические системы, на тела кото­рых действуют только консервативные си­лы (внутренние и внешние), называются консервативными системами.Закон сохра­нения механической энергии можно сфор­мулировать так: в консервативных систе­мах полная механическая энергия сохра­няется.

Закон сохранения механической энер­гии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических зако­нов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном паде­нии тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от на­чальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем — диссипативные системы,в которых меха­ническая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеха-

нические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации(или рассе­яния) энергии.Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными.

В консервативных системах полная механическая энергия остается постоян­ной. Могут происходить лишь превраще­ния кинетической энергии в потенциаль­ную и обратно в эквивалентных количе­ствах, так что полная энергия остается неизменной. Поэтому, как указывает Ф. Энгельс, этот закон не есть просто за­кон количественного сохранения энергии, а закон сохранения и превращения энер­гии, выражающий и качественную сторо­ну взаимного превращения различных форм движения друг в друга. Закон со­хранения и превращения энергии — фун­даментальный закон природы, он справед­лив как для систем макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механи­ческой энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количест­во энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появля­ется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключает­ся физическая сущность закона сохране­ния и превращения энергии — сущность неуничтожимости материи и ее движения.

149.154.154.61 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Изменение механической энергии в незамкнутой системе

Если система незамкнутая, т.е. действует внешняя сила F, то можно показать, что полная механическая энергия не сохраняется, а ее изменение

где АF — работа внешней силы.

Рассмотрим систему тел (тело—Земля), на которую действует внешняя сила F. Пусть тело поднимают вверх на высоту h (рис. 14.1).

Рисунок 14.1. Система «тело – Земля».

Работа внешних сил

Работа внутренней силы (силы тяжести)

Согласно теореме о кинетической энергии

где А — суммарная работа всех сил, действующих на тело:

Закон сохранения и превращения энергии

Если в замкнутой системе между телами действует сила трения, то полная механическая энергия убывает и, как показывает опыт, ее изменение равно работе силы трения:

Не сохраняется полная механическая энергия и в том случае, если в системе тел происходят неупругие деформации. Но убывание механической энергии не означает, что энергия исчезает бесследно. Она превращается из механической в другую, в частности во внутреннюю энергию.

Для любой замкнутой системы всегда выполняется закон сохранения и превращения энергии:величина полной энергии (механической и другой) замкнутой системы остается постоянной. При этом, будучи несозидаемой и неуничтожаемой, энергия может превращаться из одного вида в другой.

Упругие и неупругие соударения тел

Примером применения законов сохранения импульса и энергии является соударение (удар) тел.

Ударэто кратковременное взаимодействие соприкасающихся тел, приводящее к значительному изменению состояния их движения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в потенциальную энергию упруго деформированных тел. За время удара происходит перераспределение энергии между соударяющимися телами.

Читать еще:  Планирование на каждый день во второй младшей группе. Ежедневное планирование во второй младшей группе. Тема проекта: «мой дом

Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс.

Различают два предельных типа удара:

а) удар абсолютно упругий,

б) удар абсолютно неупругий.

Абсолютно упругимназывается удар, после которого возникшие в телах деформации полностью исчезают.

При абсолютно упругом ударе выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии.

Абсолютно неупругий ударудар, после которого возникшие в телах деформации полностью сохраняются.

После абсолютно неупругого удара тела движутся как единое целое. Такой удар наблюдается при столкновении тел из мягких, пластичных материалов.

При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, а кинетическая энергия тел не сохраняется.

Простейшие механизмы

Для облегчения совершения механической работы издавна используются различные приспособления — простые механизмы.

Простые механизмыэто устройства, в которых работа совершается только за счет механической энергии.

Простые механизмы (рычаг, наклонная плоскость, блок и др.) служат для преобразования силы, их применяют при совершении работы в тех случаях, когда надо действием одной силы уравновесить другую силу.

Наклонная плоскость.

Ее используют в тех случаях, когда надо поднять тяжелый груз на некоторую высоту.

Рассмотрим гладкую наклонную плоскость (рис. 17.1).

Рисунок 17.1. Наклонная плоскость.

Рассчитаем силу F, которую надо приложить к телу массой m, чтобы поднять его равномерно на высоту h.

Запишем основное уравнение динамики:

Спроецируем это равенство на ось Ox:

Отсюда искомая сила

т.е для равномерного поднятия груза с помощью наклонной плоскости необходимо приложить силу, во столько раз меньшую силы тяжести груза, во сколько раз длина наклонной плоскости больше ее высоты.

Рычаг.

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго рода.

Рычагом первого рода называют рычаг, ось вращения О которого расположена между точками А и В приложения сил, а сами силы направлены в одну сторону (рис. 17.2, а). Это коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, ножницы и др.

Рычаг второго рода — рычаг, ось вращения О которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу (рис. 17.2, б). Это гаечные ключи, щипцы для раскалывания орехов, двери и др.

Рисунок 17.2. а) рычаг первого рода; б) рычаг второго рода.

Условие равновесия рычага вытекает изправила моментов М1 = М2.

где l1 иl2 — плечи сил, действующих на рычаг, тоусловие равновесия рычага имеет вид:

При равновесии рычага под действием двух сил модули этих сил обратно пропорциональны их плечам.

С помощью рычага можно получить выигрыш в силе, т.е. меньшей силой можно уравновесить большую силу.

Блок.

Блоки используют для поднятия грузов. Блок представляет собой колесо с желобом, укрепленное в обойме. По желобу блока пропускают веревку, трос или цепь. Неподвижным называют такой блок, ось которого закреплена и при подъеме гру­зов она не поднимается и не опускается (рис. 17.3, а, б).

Рисунок 17.3. Неподвижный блок.

Неподвижный блок можно рассматривать как равноплечий рычаг, у которого плечи приложенных сил равны радиусу колеса. Следовательно, из правила моментов

вытекает, что неподвижный блок выигрыша в силе не дает (F=mg). Он позволяет менять направление действия силы.

На рисунке 17.4, а, б изображен подвижный блок (ось блока поднимается и опускается вместе с грузом).

Рисунок 17.4. Подвижный блок.

Такой блок поворачивается около мгновенной оси О. Правило моментов для него будет иметь вид:

mgr = F•2r =>

Таким образом, подвижный блок дает выигрыш в силе в два раза.

Обычно на практике применяют комбинацию неподвижного блока с подвижным (рис. 17.5). Неподвижный блок применяется только для удобства. Он, изменяя направление действия силы, позволяет, на­пример, поднимать груз, стоя на земле.

Рисунок 17.5. Совместное использование подвижного и неподвижного блоков.

Источники:

http://www.physbook.ru/index.php/%D0%A1%D0%BB%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D0%BD%D1%8E%D0%BA_%D0%90.%D0%98._%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0_10/6.9
http://studopedia.ru/17_61174_zakon-sohraneniya-energii.html
http://poisk-ru.ru/s63002t1.html

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector